a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Tentukan bayangan dari
titik A (5, 10) oleh translasi
c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Pembahasan Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut:
Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga: a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8)
b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi
c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4)
Soal No. 2
Disediakan suatu persamaan garis lurus
Y = 3x + 5
Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)
Pembahasan
Ada beberapa cara diantaranya:
Cara pertama:
Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:
x’ = x + 2 → x = x’ – 2
y’ = y + 1 → y = y’ – 1
Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal
y = 3x + 5
(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5
Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:
y – 1 = 3x – 6 + 5
y = 3x – 6 + 5 + 1
y = 3x
Cara kedua:
Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5
Misal:
Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5)
Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /3 dapat titik B (– 5/3 , 0)
Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1)
A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6)
B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1)
Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu:
Cara ketiga Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat:
ax + by = c
Translasi T (p, q)
Hasil :
ax + by = c + ap + bq
Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah. y = 3x + 5 atau 3x − y = − 5 oleh T = (2,1) Hasil translasinya adalah: 3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1) 3x − y = − 5 + 6 − 1 3x − y = 0 atau y = 3x Soal No. 3 Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis x = 10 b) Terhadap garis y = 8 Pembahasan Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k a) Terhadap garis x = 10 x = h (a, b) ----------> (2h − a, b) x = h (3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5) b) Terhadap garis y = 8 y = k (a, b) ----------> (a, 2k − b) y = k (3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11) Soal No. 4 Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis y = x b) Terhadap garis y = − x Pembahasan a) Terhadap garis y = x y = x (a, b) ----------> ( b, a) y = x (3, 5) ----------> (5, 3) b) Terhadap garis y = − x y = − x (a, b) ----------> ( − b, − a) y = − x (3, 5) ----------> (− 5, − 3) Soal No. 5 Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'. Pembahasan Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α
Sehingga:
Catatan: sudut α positif → berlawanan arah jarum jam sudut α negatif → searah jarum jam Soal No. 6
Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks
kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. x + y − 3 = 0 B. x − y − 3 = 0 C. x + y + 3 = 0 D. 3x + y + 1 = 0 E. x + 3y + 1 = 0 (UN Matematika Tahun 2010 P04) Pembahasan
Transformasi oleh matriks
dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya
Gabungan dua transformasi:
Terlihat bahwa y' = − y y = − y' x' = x + 2y x' = x + 2(− y') x' = x − 2y' x = x' + 2y' Jadi: x = x' + 2y' y = − y' Masukkan ke persamaan awal y = x + 1 (− y') = (x' + 2y' ) + 1 x' + 3y' + 1 = 0 Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0
Soal No. 7 Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks
dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. (−11, 6) B. (−6, 11) C. (−5, 11) D. (11, −5) E. (11, −6) Pembahasan Titik A, dengan transformasi matriks
akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya:
Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X.
Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6)
Soal No. 8 Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah.... A. 1/8 π B. 1/4 π C. 1/3 π D. 1/2 π E. 2/3 π (Soal Ebtanas 1988) Pembahasan Sudut antara dua buah vektor:
Soal No. 9 Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah.... A. 0 B. 1/4 π C. 1/2 π D. 3/4 π E. π (Soal Ebtanas 1989 - Vektor) Pembahasan Tentukan vektor u dan v terlebih dulu: u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j
Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π Soal No. 10 Diberikan tiga buah vektor masing-masing: a = 6p i + 2p j − 8 k b = −4 i + 8j + 10 k c = − 2 i + 3 j − 5 k Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah..... A. − 58 i − 20 j − 3k B. − 58 i − 23 j − 3k C. − 62 i − 17 j − 3k D. − 62 i − 20 j − 3k E. − 62 i − 23 j − 3k
Pembahasan Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku:
a ⋅ b = 0 (6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0 − 24p + 16p − 80 = 0 − 8p = 80 p = − 10 Dengan demikian vektor a adalah a = 6p i + 2p j − 8 k a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k a = −60 i − 20 j − 8 k a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k) a − c = − 58 i − 23 j − 3k
Soal No. 11
Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:
a) |a + b|
b) |a – b|
Pembahasan
a) |a + b|
Jumlah dua buah vektor
b) |a – b|
Selisih dua buah vektor
Soal No. 12 Dua buah matriks A dan B masing-masing berturut-turut sebagai berikut:
Tentukan A − B
Pembahasan Operasi pengurangan matriks:
Soal No. 13 Dari dua buah matriks yang diberikan di bawah ini,
Tentukan 2A + B Pembahasan Mengalikan matriks dengan sebuah bilangan kemudian dilanjutkan dengan penjumlahan:
Soal No. 14 Matriks P dan matriks Q sebagai berikut
Tentukan matriks PQ Pembahasan Perkalian dua buah matriks
Soal No. 15 Tentukan nilai a + b + x + y dari matriks-matriks berikut ini
Diketahui bahwa P = Q
Pembahasan Kesamaan dua buah matriks, terlihat bahwa
3a = 9 → a = 3 2b = 10 → b = 5 2x = 12 → x = 6 y = 6 y = 2
Sehingga: a + b + x + y = 3 + 5 + 6 + 2 = 16 Soal No. 16 Tentukan determinan dari matriks A berikut ini
Pembahasan Menentukan determinan matriks ordo 2 x 2 det A = |A| = ad − bc = (5)(2) − (1)(−3) = 10 + 3 = 13 Soal No. 17 Diberikan sebuah matriks
Tentukan invers dari matriks P Pembahasan Invers matriks 2 x 2
Soal No. 18 Tentukan tranpose dari matriks A berikut ini
Pembahasan Transpose sebuah matriks diperoleh dengan mengubah posisi baris menjadi kolom seperti contoh berikut:
a + b + c + d = −5 − 3 + 6 + 5 = 3 Soal No. 19 Diketahui matriks
Apabila B − A = Ct = transpos matriks C, maka nilai x .y =.... A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 E. 30 Pembahasan Transpos C diperoleh dengan mengubah posisi baris ke kolom, B − A adalah pengurangan matriks B oleh A
Akhirnya, dari kesamaan dua matriks: y − 4 = 1 y = 5 x + y − 2 = 7 x + 5 − 2 = 7 x + 3 = 7 x = 4 x . y = (4)(5) = 20 Soal No. 20
Jika
maka x + y =.... A. − 15/4 B. − 9/4 C. 9/4 D. 15/4 E. 21/4 Pembahasan Masih tentang kesamaan dua buah matriks ditambah tentang materi bentuk pangkat, mulai dari persamaan yang lebih mudah dulu: 3x − 2 = 7 3x = 7 + 2 3x = 9 x = 3 4x + 2y = 8 22(x + 2y) = 23 22x + 4y = 23 2x + 4y = 3 2(3) + 4y = 3 4y = 3 − 6 4y = − 3 y = − 3/4 Sehingga: x + y = 3 + (− 3/4) = 2 1/4 = 9/4
Soal No.21
Tentukan nilai x agar matrik
merupakan sebuah matriks yang tidak memiliki invers! Pembahasan Matriks yang tidak memiliki invers, disebut matrikssingular. Determinan dari matriks singular sama dengan nol. det P = ad − bc = 0 (2)(x) − (3)(5) = 0 2x − 15 = 0 2x = 15 x = 15/2 Soal No. 22
Diketahui matriks
,
dan
Jika A = B, maka a + b + c =.... A. − 7 B. − 5 C. − 1 D. 5 E. 7 Pembahasan Kesamaan dua matriks: 4a = 12 a = 3 3a = − 3b −3a = − 3b −3(3) = − 3b −9 = − 3b b = 3 3c = b 3c = 3 c = 1 a + b + c = 3 + ( 3) + ( 1) = 7 Soal No. 23
Diketahui matriks
memenuhi AX = B, tentukan matriks X Pembahasan Jika AX = B, maka untuk mencari X adalah X = A−1 B Cari invers matriks A terlebih dahulu, setelah ketemu kalikan dengan matriks B
Soal No. 24 Luas daerah parkir 1.760 m2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m2 dan mobil besar 20 m2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp 1.000,00/jam dan mobil besar Rp 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan pergi dan datang, maka hasil maksimum tempat parkir itu adalah....
A. Rp 176.000,00 B. Rp 200.000,00 C. Rp 260.000,00 D. Rp 300.000,00 E. Rp 340.000,00
Pembahasan Membuat model matematika dari soal cerita di atas Misal: mobil kecil sebagai x, mobil besar sebagai y. Luas parkir 1760 m2: 4x + 20 y ≤ 1760 disederhanakan menjadi x + 5y ≤ 440.......(Garis I) Daya tampung lahan parkir 200 kendaraan: x + y ≤ 200 ..............(Garis II) Fungsi objektifnya adalah hasil parkiran: f(x, y) = 1000 x + 2000 y Membuat Sketsa Garis 1 dan garis 2 Ubah tanda lebih besar atau lebih kecil menjadi tanda sama dengan terlebih dahulu, Garis 1 x + 5y = 440 Titik potong sumbu x, y = 0 x + 5(0) = 440 x = 440 Dapat titik (440, 0) Titik potong sumbu y, x =0 0 + 5y = 440 y = 440/5 = 88 Dapat titik (0, 88) Garis 2 x + y = 200 Titik potong sumbu x, y = 0 x + 0 = 200 x = 200 Dapat titik (200, 0) Titik potong sumbu y, x =0 0 + y = 200 y = 200 Dapat titik (0, 200) Menentukan titik potong garis 1 dan garis 2 Untuk menentukan titik potong bisa dengan substitusi ataupun eliminasi. x + 5y = 440 x + y = 200 ____________ _ 4y = 240 y = 60 x + y =200 x + 60 = 200 x = 140 Titik potong kedua garis aalah (140, 60) Berikut lukisan kedua garis dan titik potongnya, serta daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian kedua pertidaksamaan di atas.
Uji titik untuk mendapatkan fungsi obektif maksimum: Masukkan koordinat titik-titik uji / warna merah ke f(x, y) = 1000 x + 2000 y Titik (0,0) → f(x, y) = 1000 (0) + 200 (0) = 0 Titik (200,0) → f(x, y) = 1000 (200) + 2000 (0) = 200 000 Titik (0, 88) → f(x, y) = 1000 (0) + 2000 (88) = 176 000 Titik (140,60) → f(x, y) = 1000 (140) + 2000 (60) = 260 000 Dari uji titik terlihat hasil parkiran maksimum adalah Rp 260 000 Soal No. 25 Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
Nilai maksimum dari f (x, y) = 7x + 6y adalah.... A . 88 B. 94 C. 102 D. 106 E. 196 Pembahasan Cari persamaan kedua garis untuk dapat menentukan titik potongnya: Cara pertama dalam membuat persamaan garis
y − y1 = m (x − x1) dengan
m = Δy/Δx Persamaan garis yang melalui titik (12, 0) dan (0, 20) adalah m = 20/−12 = − 5/3 y − 20 = − 5/3 (x − 0) y − 20 = − 5/3 x y + 5/3 x = 20 3y + 5x = 60 Persamaan garis yang melalui titik (18, 0) dan (0, 15) : m = 15/−18 = − 5/6 y − 15 = − 5/6 (x − 0) y + 5/6 x = 15 6y + 5x = 90
Cara kedua dalam membuat persamaan garis
bx + ay = ab
Untuk garis yang memotong sumbu x di 12 dan y di 20 adalah:
20x + 12 y = 240 sederhanakan lagi
5x + 3y = 60
Untuk garis yang memotong sumbu x di 18 dan y di 15 adalah:
15x + 18y = 270 sederhanakan lagi
5x + 6y = 90
Titik potong kedua garis: 6y + 5x = 90 3y + 5x = 60 _________ - 3y = 30 y = 10 3(10) + 5x = 60 5x = 30 x = 6 Titik potong kedua garis adalah (6, 10) Uji titik: f (x, y) = 7x + 6y Titik (0, 0) → f (x, y) = 7(0) + 6(0) = 0 Titik (12,0) → f (x, y) = 7(12) + 6(0) = 84 Titik (0, 15) → f (x, y) = 7(0) + 6(15) = 90 Titik (6, 10) → f (x, y) = 7(6) + 6(10) = 102 Nilai maksimum tercapai saat x = 6 dan y = 10 yaitu 102 Soal No. 26 Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, sedangkan untuk membuat barang jenis II dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 per unit, maka agar penjualannya mencapai maksimum, berapa banyak masing-masing barang harus dibuat? A. 6 jenis I B. 12 jenis II C. 6 jenis I dan 6 jenis II D. 3 jenis I dan 9 jenis II E. 9 jenis I dan 3 jenis II Pembahasan Barang I akan dibuat sebanyak x unit Barang II akan dibuat sebanyak y unit Ilustrasi berikut untuk memudahkan pembuatan model matematikanya:
x + 3y ≤ 18 2x + 2y ≤ 24 Fungsi objektifnya: f(x, y) = 250000 x + 400000 y Titik potong x + 3y = 18 |x2| 2x + 2y = 24 |x 1| 2x + 6y = 36 2x + 2y = 24 ____________ _ 4y = 12 y = 3 2x + 6(3) = 36 2x = 18 x = 9 Titik potong kedua garis (9, 3) Berikut grafik selengkapnya:
Uji Titik ke f(x, y) = 250000 x + 400000 y Titik (0,0) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (0) = 0 Titik (12, 0) f(x, y) = 250000 (12) + 400000 (0) = 3000 000 Titik (9, 3) f(x, y) = 250000 (9) + 400000 (3) = 3450 000 Titik (0, 6) f(x, y) = 250000 (0) + 400000 (6) = 2400 000 Dari uji titik terlihat hasil maksimum jika x = 9 dan y = 3 atau dibuat 9 barang jenis I dan 3 barang jenis II.
Soal No. 27
Nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x + y ≥ 7, x + y ≥ 5, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah…
A. 14
B. 20
C. 23
D. 25
E. 35
Pembahasan
Langsung cari titik potongnya dulu:
2x + y = 7
x + y = 5
------------ −
x = 2
y = 3
Dapat titik A (2, 3)
Berikut grafik selengkapnya:
Uji titik
f(x, y) = 4x + 5y
A(2, 3) = 4(2) + 5(3) = 23
B(5, 0) = 4(5) + 5(0) = 20
C(0, 7) = 4(0) + 5(7) = 35
Terlihat nilai minimumnya adalah 20.
Soal No.28 Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = − x2 + 4 dan y = − 2x + 4 diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah..... A. 8 π satuan volume B. 13/2 π satuan volume C. 4 π satuan volume D. 8/3 π satuan volume E. 5/4 π satuan volume (Sumber Soal : UN Matematika SMA Tahun 2007)
Pembahasan Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar nampak batas-batas yang akan diambil,
Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat, y = −x2 + 4 Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0 y = −x2 + 4 0 = −x2 + 4 0 = 4 −x2 Faktorkan, 0 = (x + 2)(x − 2) x = − 2 atau x = 2 Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0) Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0 y = −x2 + 4 y = −02 + 4 y = 4 Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)
Kurva Kedua berbentuk persamaan linier y = − 2x + 4 Titik potong sumbu x, berarti y = 0 y = − 2x + 4 0 = − 2x + 4 2x = 4 x = 4/2 = 2 Diperoleh titik (2, 0) Titik potong sumbu y, berarti x = 0 y = − 2x + 4 y = − 2(0) + 4 y = 4 Diperoleh titik (0, 4) Grafik selengkapnya sebagai berikut
Menentukan Batas-batas Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2 Jika diputar pada sumbu y, terlihat batas-batasnya adalah 0 dan 4 Kali ini akan dihitung untuk putar sumbu y, sehingga batas yang diambil 0 dan 4 Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk dua buah kurva: V = π a∫b ( [f1(y)]2 − [f2(y)]2 ) dy atau V = π a∫b ( [x1]2 − [x2]2 ) dy → Ubah bentuk "y =... " menjadi "x =..." atau "x2 =..." , y = −x2 + 4 x2 = 4 − y y = − 2x + 4 2x = 4 − y x = 2 − 1/2 y x2 = 4 −2y + y2/4 sehingga V = π a∫b ( [x1]2 − [x2]2 ) dy V = π 0∫4 ( [4 − y] − [4 −2y + y2/4] ) dy V = π 0∫4 ( 4 − y − 4 + 2y − y2/4 ) dy V = π 0∫4 (y − y2/4 ) dy V = π [ 1/2 y2 − y3/12]04 V = (1/2 . 16 − 64/12)π − (0) π = 8/3 π Soal No.29 Perhatikan gambar diarsir di samping!
Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu Y, maka volume benda putar yang terjadi adalah…. A. 6 2/5 π satuan volume B. 8 π satuan volume C. 13 2/3 π satuan volume D. 15 1/3 π satuan volume E. 25 3/5 π satuan volume
Pembahasan y = √x y2 = x y4 = x2 x2 = y4
Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk satu buah kurva: V = π o∫2 x2 dy V = π o∫2 y4 dy V = π [ 1/5 y5 ]02 = 1/5 π [ y5 ]02 V = 1/5 π [ (25) − (05) ] = 32/5 π = 6 2/5 π satuan volume
Soal No.30 Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang di kuadran I yang dibatasi oleh kurva x = 2√2 y2, sumbu Y, dan lingkaran x2 + y2 = 9, diputar mengelilingi sumbu Y adalah.... A. 106/15 π satuan volume B. 124/15 π satuan volume C. 146/15 π satuan volume D. 164/15 π satuan volume E. 248/15 π satuan volume Pembahasan Volume benda putar pada sumbu Y. Kurva I x = 2√2 y2 x2 = 8y4 Kurva II x2 + y2 = 9 x2 = 9 − y2 Tentukan titik potongnya dulu 8y4 = 9 − y2 8y4 + y2 − 9 = 0 Faktorkan (8y2 + 9)(y2 - 1) = 0 Ambil y2 - 1 = 0 y2 = 1→ y = ± 1 Sketsa kasar grafiknya sebagai berikut:
Soal No. 31 Dua buah dadu dilempar undi sekali bersamaan. Peluang muncul jumlah mata dadu kurang dari 4 atau lebih dari 10 adalah.... A. 1/12 B. 1/9 C. 1/6 D. 1/3 E. 5/12
Pembahasan Jumlah mata dadu kurang dari 4 → A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} ada 3. Jumlah mata dadu lebih dari 10 → B = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)} ada 3. P(A ∪B) = 3/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6 Soal No. 32 Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak 144 kali. Frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah 10 adalah.... A. 12 B. 20 C. 24 D. 36 E. 40 Pembahasan Jumlah mata dadu 10 → {(5, 5), (4, 6), (6, 4)} ada 3. Frekuensi harapan = 3/36 x 144 = 12 Soal No. 33 Pada bulan Januari, kelompok musik Melodi dan Gita Indah mengeluarkan CD baru mereka. Pada bulan Februari, kelompok musik Suara Merdu dan Pop Rock menyusul. Grafik berikut menggambarkan hasil penjualan CD dari bulan Januari sampai dengan bulan Juni.
Manajer kelompok musik Gita Indah agak khawatir karena penjualan CD kelompok musiknya mengalami penurunan dari bulan Februari sampai dengan Juni. Berapa perkiraan penjualan CD kelompok musik ini pada bulan Juli, jika kecenderungan penurunan pada bulan-bulan sebelumnya terus berlanjut? A. 70 CD. B. 250 CD. C. 370 CD. D. 670 CD. E. 1.340 CD. Pembahasan Penurunan penjualan dari Gita indah sekitar 300 buah per bulan. Sehingga untuk bulan Juli perkiraannya adalah: 650 - 300 = 350. Ambil yang paling dekat. Jawab: C. 370 CD. Soal No. 34 Median dari data pada histogram berikut adalah....
A. 10,5 tahun B. 11,5 tahun C. 12,5 tahun D. 13,5 tahun E. 14,5 tahun Pembahasan Jumlah frekuensi : 2 + 3 + 5 + 9 + 10 + 5 + 4 = 38 Mediannya berada diantara nilai ke-19 dan nilai ke-20 Me = (12 + 15) /2 = 13,5 tahun Soal No. 35 Diketahui data 3, 5, 6, 7, 5, 3, 6. Nilai simpangan baku data tersebut adalah.... A. √2 B. 2 C. 2√2 D. 4 E. 6 Pembahasan Rata-rata x- = (3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 6) / 7 = 5 S2 = [(3 -5)2 + (5-5)2 + (6-5)2 + (5-5)2 + (3-5)2 + (7-5)2 ] / 7 S2 = 14/7 = 2 Simpangan Baku S S = √2
Soal No. 36 Suatu pabrik sandal memproduksi x pasang sandal setiap jam dengan biaya produksi (2x -60 + 600/x)ribu rupiah setiap pasang. Biaya produksi total minimum per jam adalah.... A. Rp10.000,00 B. Rp15.000,00 C. Rp150.000,00 D. Rp225.000,00 E. Rp250.000,00
Pembahasan Penggunaan turunan: Untuk memproduksi x pasang sandal diperlukan biaya dengan fungsinya f(x) = (2x -60 + 600/x) x f(x) = (2x2 -60x + 600) ribu Biaya total minimum tercapai saat f ' (x) = 0 sehingga 4x -60 = 0 x = 15 Jadi saat x = 15, biayanya adalah: f(x) = (2x2 -60x + 600) ribu = (2[15]2 -60[15] + 600) ribu = 150ribu rupiah Jawab: C. Soal No. 37 Hasil dari ∫ (4x3 + 3x2 -5)dx =.... A. 12x2 + 6x + C B. 12x2 + 6x - 5 + C C. x4 + x3 + 5 + C D. x4 + x3 + C E. x4 + x3 -5x + C Pembahasan ∫ (4x3 + 3x2 -5)dx = 4/4 x4 + 3/3 x3 -5x + C = x4 + x3 -5x + C Jawab: E. Soal No. 38 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x2 + 4x + 5, sumbu X dan 1 ≤ x ≤ 4 adalah... A. 38 satuan luas B. 25 satuan luas C. 24 satuan luas D. 23 2/3 satuan luas E. 23 1/3 satuan luas Pembahasan 14∫(-x2 + 4x + 5)dx = -1/3 x3 + 2x2 + 5x ]14 = -1/3 (43 - 13) + 2(42 - 12 + 5(4 -1) = -21 + 30 + 15 = 24 satuan luas Soal No. 39 Pada suatu toko buah apel, jeruk, dan pepaya, Nina ingin membeli 9 buah pada toko tersebut. Jika Nina ingin membeli paling sedikit 2 buah untuk setiap jenis buah yang tersedia, maka komposisi banyak buah yang mungkin dapat dibeli adalah.... A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 E. 10 Pembahasan Dalam setiap komposisi pembelian selalu terdapat 2 apel, 2 jeruk dan 2 pepaya (jumlahnya 6 buah), sehingga tinggal dicari komposisi dari 3 buah lainnya seperti berikut: 003 030 300 012 021 120 102 201 210 111 Ada 10 kemungkinan yang bisa terjadi. Jawab: E. Soal No. 40 Dari 6 orang pengurus karang taruna akan dibentuk panitia yang terdiri dari 1 orang ketua, 1 orang sekretaris, 1 orang bendahara dan 1 orang seksi acara. Banyak susunan panitia yang bisa dibentuk adalah.... A. 720 B. 360 C. 120 D. 30 E. 6 Pembahasan Permutasi 4 dari 6 orang yang ada: 46P = 6! / (6-4)! = 6.5.4.3 = 360 Jawab: B.
Soal No. 41 Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 4, sedangkan suku ke-3 sama dengan 144. Jika rasio barisan geometri tersebut positif, maka suku ke-5 sama dengan.... A. 5.184 B. 1.296 C. 864 D. 272 E. 236
Pembahasan ar2 = 144 a = 4 4r2 = 144 r2 = 36 r = 6 Suku ke-5 = ar4 = 4(6)4 = 5184 Jawab: A Soal No. 42 Jumlah tak hingga dari deret geometri 4 + 2 + 1 + 1/2 +.... adalah... A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 13 Pembahasan a = 4 r = 2/4 = 1/2 Jumlah tak hingga S∞ S∞ = a / (1 - r) = 4 / (1/2) = 8 Soal No. 43 Suatu gedung pertunjukan mempunyai beberapa kursi. Setelah baris pertama, setiap baris mempunyai kursi 2 lebih banyak dari pada baris sebelumnya. Perbandingan banyak kursi pada baris ke-9 dan ke-6 adalah 4 : 3. Baris terakhir mempunyai 50 kursi. Banyak kursi yang dimiliki gedung tersebut adalah.... A. 544 kursi B. 590 kursi C. 638 kursi D. 690 kursi E. 744 kursi Pembahasan Barisan aritmetika: b = 2 4 : 3 = U9 : U6 4/3 = (a + 8b)/(a + 5b) 4/3 = (a + 16) / (a + 10) 4a + 40 = 3a + 48 a = 8 Baris terakhir mempunyai 50 kursi: a + (n - 1)b = 50 8 + (n - 1)2 = 50 n - 1 = 21 n = 22 Banyak kursi: Sn = n/2 (a + Un) S22 = 22/2 (8 + 50) = 638 kursi Jawab: C. Soal No. 44 Nilai lim (x2 + 7x + 12) / (2x + 8) =.... x → -4 A. -1 B. -1/2 C. 7/8 D. 3/2 E. 7/2 Pembahasan limit fungsi bentuk 0/0, dengan metode turunan: lim (2x + 7) / (2) = [2(-4) + 7 ] / 2 = -1/2 x → -4 Jawab: B. -1/2 Soal No. 45 Diketahui f(x) = 5x3 -3x2 -5x + 3 dan f ' (x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f ' (2) =.... A. 20 B. 21 C. 40 D. 43 E. 46 Pembahasan Turunan fungsi aljabar: f(x) = 5x3 -3x2 -5x + 3 f ' (x) = 15x2 -6x -5 f ' (2) = 15(2)2 -6(2) -5 f ' (2) = 60 - 12 - 5 = 43 Jawab: D. 43
Soal No. 46 Diketahui matriks
dan matriks
Jika A + B = C, nilai (x + y)=.... A. -1 B. -4 C. -5 D. -6 E. -8
Pembahasan A + B = C maka 4 + 2x = 2 2x = -2 x = -1 4y + 5 = -11 4y = -16 y = -4 Jadi x + y = -1 + (-4) = -5 Jawa: C. -5 Soal No. 47 Diketahui
Determinan matriks (P + Q - 2R) adalah.... A. -32 B. -12 C. 12 D. 20 E. 52 Pembahasan P + Q - 2R
Determinannya
Jawab: B. -12 Soal No. 48 Diketahui matriks
dan C = A - B. Invers matriks C adalah....
Pembahasan Matriks C adalah
Invers matriks C adalah
Soal No. 49 Jika
matriks P adalah....
Pembahasan Perkalian matriks, menentukan matriks P. P sama dengan invers matriks di depannya dikalikan matriks hasil perkalian
Soal No. 50 Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-8 adalah 31 dan suku ke14 adalah 55. Suku ke-22 dari barisan tersebut adalah.... A. 83 B. 84 C. 86 D. 87 E. 91 Pembahasan Suku ke-8 adalah 31 dan suku ke14 adalah 55: U14 → a + 13b = 55 U8 → a + 7b = 31 -------------- - 6b = 24 b = 4 Suku ke-22 adalah : U22 = U14 + 8b = 55 + 8(4) = 87 Jawab: D. 87
Soal No.51 Fungsi f(x) didefinisikan sebagai f(x) = x - 3 / 2x + 5, x ≠ -5/2 dan f-1(x) adalah invers dari fungsi f(x). Rumus f-1(x) adalah.... A. 5x + 3 / 1 - 2x, x ≠ 1/2 B. 5x - 3 / 1 - 2x, x ≠ 1/2 C. 5x + 3 / 2x + 1, x ≠ -1/2 D. 2x + 3 / 5x + 5, x ≠ -1 E. 2x - 3 / 5x + 5, x ≠ -1
Pembahasan Fungsi invers dari bentuk f(x) = ax + b / cx + dadalah f-1(x) = -dx + b / cx - a sehingga: f-1(x) = -5x - 3 / 2x - 1 = 5x + 3 / 1 - 2x Jawab: A Soal No. 52 Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 -5x -4 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai dari 4/x12 + 4/x22adalah.... A. 49/16 B. 49/9 C. 49/8 D. 49/4 E. 49/2 Pembahasan Ingat perkalian dan jumlah akar-akar persamaan kuadrat: x1 + x2 = -b/a = 5/3 x1 ⋅ x2 = c/a = -4/3 dan x12 + x22 = (x1 + x2)2 -2x1x2 Sehingga bentuk: 4/x12 + 4/x22 = 4x22 + 4x12 / x12x22 = 4([x1 + x2]2 - 2x1x2) / (x1x2)2 = 4([5/3]2 - 2(-4/3)) / (-4/3)2 = 49/4 Soal No. 53 Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 +3x -5 = 0 adalah p dan q. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah 2p + 1, dan 2q + 1 adalah.... A. x2 + x - 12 = 0 B. x2 - x + 12 = 0 C. x2 + x + 12 = 0 D. -x2 + x - 12 = 0 E. -x2 -x + 12 = 0 Pembahasan 2x2 +3x -5 = 0 p + q = -b/a = -3/2 p.q = c/a = -5/2 Misalkan α = 2p + 1 dan β = 2q + 1, maka bentuk persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 - (α + β)x + α ⋅ β = 0 x2 - (2p + 1 + 2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0 x2 -2(p + q + 1)x + 4pq + 2(p + q) + 1 = 0 x2 - 2(-3/2 + 1) + 4(-5/2) + 2(-3/2) + 1 = 0 x2 + x - 12 = 0 Soal No. 54 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2+ x - 12 < 0, untuk x ∈ R adalah..... A. {x | -3 < x < 4} B. {x | -4 < x < 3} C. {x | x < -4 atau x > 3} D. {x | x < -3 atau x > 4} E. {x | x < -2 atau x >6} Pembahasan x2 + x - 12 < 0 , pembuat nol adalah (x + 4)(x - 3) = 0 x = -4 atau x = 3 Dengan pengecekan garis bilangan diperoleh hasilnya adalah B. {x | -4 < x < 3} Soal No. 55 Ditentukan x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan linear 3x + 4y = 24 dan x + 2y = 10. Nilai dari 1/2 x1 + 2y1 =..... A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 E. 14 Pembahasan Menentukan x, persamaan yang kedua dikalikan 2 3x + 4y = 24 2x + 4y = 20 ------------ - x = 4 Menentukan y, persamaan kedua dikalikan 3 3x + 4y = 24 3x + 6y = 30 ---------- - 2y = 6 y = 3 Jadi nilai 1/2 x1 + 2y1 = 1/2 (4) + 2(3) = 8
Soal No. 56 Nilai dari 3log 81 + 2log 1/32 - 5log 5√5 =.... A. 5/2 B. 3/2 C. 1/2 D. - 3/2 E. - 5/2
Pembahasan Bentuk logaritma: 3log 81 + 2log 1/32 - 5log 5√5 = 3log 34 + 2log 2-5 - 5log 53/2 = 4 - 5 - 3/2 = - 1 - 3/2 = - 5/2 (E) Soal No. 57 Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat f(x) = 2x2 - 2x - 12 dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut adalah.... A. (-3, 0), (2, 0), dan (0, -12) B. (-2, 0), (3, 0), dan (0, -12) C. (-2, 0), (3, 0), dan (0, 6) D. (-2, 0), (3, 0), dan (0, 12) E. (3, 0), (2, 0), dan (0, -12) Pembahasan Titik potong grafik fungsi kuadrat: Sumbu X, saat nilai Y = 0 2x2 - 2x - 12 = 0 x2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 x = 3 ∨ x = - 2 Diperoleh titik potong: (3, 0) dan (-2, 0) Titik potong sumbu Y, saat x = 0 y = 2(0)2 - 2(0) - 12 = -12 Diperoleh titik (0, -12) Jawab: B. (-2, 0), (3, 0), dan (0, -12) Soal No. 58 Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat y = x2- 4x - 5 adalah.... A. (-9, 2) B. (-2, -9) C. (-2, 9) D. (2, 9) E. (2, -9) Pembahasan Titik balik saat: x = -b/2a = -(-4)/2(1) = 2 Saat nilai x = 2, nilai y adalah: y = (2)2 - 4(2) - 5 = -9 Diperoleh titik baliknya (2, -9) Jawab: E Soal No. 59 Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah....
A. y = x2 - 2x + 5 B. y = x2 + 2x + 5 C. y = x2 + 4x + 5 D. y = x2 - 4x + 5 E. y = x2 - 6x + 5 Pembahasan Cek titik baliknya dulu, dari gambar nilai -b/2a harus sama dengan 2: A. y = x2 - 2x + 5 → -b/2a = -(-2)/2(1) = 1 B. y = x2 + 2x + 5 → -b/2a = -(2)/2(1) = -1 C. y = x2 + 4x + 5 → -b/2a = -4/2(1) = -2 D. y = x2 - 4x + 5 → -b/2a = -(-4)/2(1) = 2 E. y = x2 - 6x + 5 → -b/2a = -(6)/2(1) = -3 Yang cocok adalah pilihan D. Jika lebih dari satu jawaban yang cocok baru cek titik lainnya. Soal No. 60 Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → yang didefinisikan f(x) = x - 5 dan g(x) = x2 - 3x - 4, komposisi fungsi (g o f)(x) =.... A. x2 - 3x - 9 B. x2 - 3x - 36 C. x2 - 13x -14 D. x2 - 13x + 6 E. x2 - 13x + 36 Pembahasan (g o f)(x) = (x - 5)2 - 3(x - 5) - 4 = x2 -10x + 25 -3x + 15 - 4 = x2 -13x +36 Jawaban yang cocok adalah E.
Soal No.61 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x° + 7 sin x° − 4 = 0 , 0 ≤ x ≤ 360 adalah.... A. {240, 300} B. {210, 330} C. {120, 240} D. {60, 120} E. {30, 150}
Soal No.62 Himpunan penyelesaian pesamaan sin2 2x − 2 sinx cosx − 2 = 0 , untuk 0° ≤ x ≤ 360° adalah.... A. {45° , 135°} B. {135°, 180°} C. {45° , 225°} D. {135° , 225°} E. {135°, 315°} Soal No.63 Himpunan penyelesaian persamaan sin 2x + 2 cos x = 0, untuk 0≤ x < 2π adalah.... A. {0, π} B. {π/2, π} C. {3π/2, π} D. {π/2, 3π/2} E. {0, 3π/2}
Soal No.64 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + cos x = 0, 0° ≤ x ≤ 180° adalah... A. {45°, 120°} B. {45°, 135°} C. {60°, 135°} D. {60°, 120°} E. {60°, 180°} Soal No.65 Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 4x + 3sin 2x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 180° adalah… A. {120°,150°} B. {150°,165°} C. {30°,150°} D. {30°,165°} E. {15°,105°} Soal No.66 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x − 2 sin x = 1; 0 ≤ x < 2π adalah... A. {0, π, 3π/2, 2π} B. {0, π, 4π/3, 2π} C. {0, 2π/3; π, 2π} D. {0, π, 2π} E. {0, π, 3π/2} Soal No.67 Himpunan penyelesaian persamaan cos 2x + 5 sin x + 2 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah… A. {2π/3,4π/3} B. {4π/3, 5π/3} C. {5π/6, 7π/6} D. {5π/6, 11π/6} E. {7π/6, 11π/6}
Soal No.68 Himpunan penyelesaian dari 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0 dengan 0° ≤ x ≤360° adalah.... A. {30°, 90°, 150° } B. {30°, 120°, 240°}O C. {30°, 120°, 300°} D. {30°, 150°, 270°} E. {60°, 120°, 270°}
Soal No.69
Diketahui sebuah kubus ABCD . EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan BDHF adalah....
A. 90°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
E. 15°
Soal No.70
Perhatikan gambar kubus ABCD . EFGH !
Jarak bidang ACH dan EGB adalah .... A. 4 √3 cm B. 2 √3 cm C. 4 cm D. 6 cm E. 12 cm Soal No.71 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah..... A. 8 √3 cm B. 8 √2 cm C. 4 √6 cm D. 4 √3 cm E. 4 √2 cm Soal No.72 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α , maka sinα adalah ... A. 1/2 √3 B. 1/2 √2 C. 1/3 √3 D. 1/2 E. 1/3 √2 Soal No.73 Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ... A. 6 √2 cm B. 9 √2 cm C. 12√2 cm D. 16 √2 cm E. 18 √2 cm Soal No.74 Balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan α =...
A. 1/2 √5 B. 1/10 √10 C. 1/2 √10 D. 1/7 √14 E. 1/7 √35 Soal No.75 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B dengan garis PG adalah.... A. √22 cm B. √21 cm C. 2√5 cm D. √19 cm E. 3√2 cm
Tidak ada komentar:
Posting Komentar